Абсолютный минимум - Страница 35

Рис. 8.5. Квадраты первых трёх волновых функций φ для частицы в ящике. Для ясности они сдвинуты друг относительно друга по вертикали. По вертикальной оси отложен квадрат волновой функции амплитуды. Штриховая линия показывает, где волновая функция равна нулю. Квадраты волновых функций всегда положительны — они соответствуют вероятности. Волновые функции, изображённые на рис. 8.4, могут быть положительными или отрицательными

Часто спрашивают: как же частицы проходят через узлы? Например, при n=2 имеется узел, расположенный ровно посередине ящика. В классической системе, если мяч находится в левой части ящика и движется направо, но нам говорят, что он никогда не появится в центре ящика, то мы уверены, что мяч не достигнет правой стороны ящика. Однако такие рассуждения в классическом стиле неприменимы к абсолютно малым частицам, таким как электрон в ящике молекулярного размера. Он не обладает одновременно определёнными положением и импульсом, которые соответствовали бы наблюдаемой траектории. Квантовые частицы (в данном случае электрон) описываются как волны амплитуды вероятности. Волны имеют узлы. Они есть даже у классических волн. Квантовая частица «проходит через» узел, поскольку она является делокализованной волной амплитуды вероятности. Представление о траектории, двигаясь вдоль которой от точки A до точки B частица должна пройти все промежуточные точки между ними, просто неприменима к корректному волновому описанию электронов и других абсолютно малых частиц.

Значения энергии квантуются

Теперь мы определим возможные значения энергии, которой может обладать абсолютно малая частица в ящике. Классический мяч на ракетбольной площадке может иметь любую энергию, то есть набор её возможных значений непрерывен. Определить, какой энергией может обладать такая частица, как электрон в крошечном ящике, можно, опираясь на правило для возможных значений длины волны λ=2L/n амплитуды вероятности в этом ящике (см. рис. 8.4). Слово «крошечный» означает здесь, что ящик мал в абсолютном смысле, то есть длина волны сопоставима с его размерами. Нам также понадобятся несколько других физических соотношений, которые уже встречались нам ранее, а именно: соотношение для длины волны де Бройля p=h/λ, где p — импульс, а h — постоянная Планка; формула для импульса p=m∙V, где m — масса частицы, а V — её скорость; выражение для кинетической энергии частицы

E=½m∙V.

Давайте объединим эти формулы.

Первым делом возведём в квадрат величину p:

p=m∙V.

Если теперь разделить обе части уравнения на 2∙m, то в правой части получим кинетическую энергию

½m∙V,

а в левой части —

p/2∙m.

Отсюда следует выражение для кинетической энергии:

E=p/2∙m.

Используя соотношение де Бройля, можно получить выражение: p=h/λ. Подставляя его в выражение для энергии, получаем:

E=h/2∙m∙λ.

Наконец, применим наше правило λ=2L/n для возможных значений длины волны. Из него следует: λ=4L/n. Подставив это выражение в формулу для энергии, находим:

E=nh/8∙m∙λ,

где n принимает любые целые значения: 1, 2, 3 и т. д. Целочисленная величина n называется квантовым числом.

Мы получили очень важный результат: значения энергии абсолютно малой частицы в абсолютно малом ящике. Этот результат очень тесно связан с поведением электронов в атомах и молекулах. Как видно из формулы, набор возможных значений энергии не непрерывен, поскольку n может принимать только целочисленные значения; другие величины, входящие в формулу, для конкретной системы являются константами. Мы будем говорить, что энергия квантуется, то есть она может принимать лишь некоторые значения, определяемые физическими свойствами системы и квантовым числом.

Дискретный набор энергетических уровней

Существует дискретный набор энергетических уровней для данных значений массы m и размера ящика L. Поскольку квантовое число n принимает значения 1, 2, 3 и т. д., соответствующие значения энергии будут равны

h/8∙m∙L, 4∙h/8∙m∙L, 9∙h/8∙m∙L, и т. д.

Рис. 8.6.Энергетические уровни частицы в ящике. Здесь n — квантовое число, а E — энергия, которая увеличивается как квадрат квантового числа. Энергия выражена в единицах h/8∙m∙L, так что хорошо видно, как она возрастает. Штриховой линией обозначена нулевая энергия. Самый низкий энергетический уровень не совпадает с линией E=0 в отличие от случая классической частицы в ящике

На рис. 8.6 представлена диаграмма энергетических уровней для первых нескольких значений энергии частицы в ящике. Энергия выражена в единицах h/8∙m∙L. Чтобы получить фактическое значение энергии, нужно просто подставить конкретные значения m и L в формулу для энергетических уровней. На диаграмме видно, что энергия увеличивается как квадрат квантового числа n. Штриховой линией обозначено, где энергия равна нулю. Квантовая частица в ящике на наинизшем энергетическом уровне имеет ненулевую энергию, чем резко отличается от классической частицы в ящике. На классической ракетбольной площадке энергия, которой может обладать мяч, непрерывна. Ударяя по мячу чуть сильнее или чуть слабее, его энергию можно увеличить или уменьшить на любую величину. Однако в квантовом ракетболе возможны лишь отдельные значения энергии, показанные на рис. 8.6. Как отмечалось в начале нашего разговора о квантовой частице в ящике, наименьшая энергия не равна нулю. Если бы квантовая частица в ящике могла иметь нулевую энергию, это нарушало бы принцип неопределённости.